Fysik

Vektorer


Bestämd av ett AB-orienterat segment är det uppsättningen av alla AB-orienterade segment.

Om vi ​​anger Med denna uppsättning kan vi symboliskt skriva:

var XY är vilket segment som helst i uppsättningen.

Vektoren bestäms av AB indikeras av eller B - A eller .
Samma vektor Det bestäms av en oändlighet av orienterade segment, kallade representanter för denna vektor, som alla är utrustade med varandra. Således bestämmer ett segment en uppsättning som är vektorn, och någon av dessa representanter bestämmer samma vektor. Genom att använda vår kapacitet för abstraktion lite mer, om vi betraktar alla de oändliga orienterade segmenten av gemensamt ursprung, karakteriserar vi genom representanter totaliteten i rymdets vektorer. Nu är vart och ett av dessa segment representerande av en enda vektor. Följaktligen är alla vektorer representerade i den uppsättning som vi föreställer oss.

Egenskaperna hos en vektor de är desamma som någon av dess representanter, det vill säga modul, riktning och riktning för vektorn är modul, riktning och känsla för någon av dess representanter.

Modulen för indikeras med || .

Summan av vektorer

Om v = (a, b) och w = (c, d) definierar vi summan av v och w med:

v + w = ​​(a + c, b + d)

Vector Sum Properties

Vector skillnad

Om v = (a, b) och w = (c, d) definierar vi skillnaden mellan v och w genom:

v - w = (a-c, b-d)

Produkt av ett skalärtal av en vektor

Om v = (a, b) är en vektor och c är ett reellt tal, definierar vi multiplikationen av c med v som:

c.v = (ca, cb)

Vector skalar produktegenskaper

Vad som helst är k- och c-skalor, v- och w-vektorer:

Modul av en vektor

Modulen eller längden för vektorn v = (a, b) är ett icke-negativt reellt tal, definierat av:

Enhetsvektor

Enhetsvektor är den med modulen lika med 1.

Det finns två enhetsvektorer som bildar kanonisk bas för utrymme R², som ges av:

i = (1,0) j = (0,1)

För att bygga en enhetsvektor u som har samma riktning och riktning som en annan vektor v, dela bara vektorn v med sin modul, det vill säga:

Obs:
För att konstruera en vektor u parallell med en vektor v, ta bara u = cv, där c är en icke-noll skala. I det här fallet u och v kommer att vara parallella:

Om c = 0 är u nollvektorn.
Om 0 <c <1 är u mindre än v.
Om c> 1 är u längre än v.
Om c <0 kommer u att ha motsatt riktning v.

Vector nedbrytning i enstaka vektorer

För att göra vektorberäkningar i endast ett av planen där den presenterar sig, kan man sönderdela denna vektor till enhetsvektorer i vart och ett av de presenterade planen.

Att symboliseras genom konvention, î som enhetlig vektor för planet x och som enhetlig vektor för planet y. Om problemet som ska lösas ges i tre dimensioner är vektorn som används för planet z är enhetsvektorn .

Så projektionen av vektorn på axeln x av det kartesiska planet kommer att ges av och dess projicering på axeln y av planen kommer att vara: . Denna vektor kan skrivas som:

=(,), med respekt för att alltid den första komponenten inom parentes är projektionen i x och den andra är projektionen på axeln y. Om en tredje komponent visas kommer det att vara axelkomponenten. z.

I det fall vektorn inte är vid ursprunget kan du rita om den så att den är vid ursprunget eller rabatt på den del av planet där vektorn inte projiceras.

Scalar produkt

Med tanke på vektorerna u = (a, b) och v = (c, d) definierar vi skalprodukten mellan vektorerna u och v som det verkliga antalet erhållet av:

u.v = a.c + b.d

Exempel:

Den skalära produkten mellan u = (3,4) och v = (- 2,5) är:

u.v = 3. (-2) + 4. (5) = -6 + 20 = 14

Den skalära produkten mellan u = (1,7) och v = (2,3) är:

u.v = 1. (2) + 7. (- 3) = 2-21 = -19

Scalar produktegenskaper

Oavsett vektorer, u v och w och k klättring:

Vinkel mellan två vektorer

Den skalära produkten mellan vektorerna u och v kan skrivas som:

u.v = | u | | v | cos (x)

där x är den vinkel som bildas mellan u och v.

Genom denna sista skalproduktdefinition kan vi få vinkeln x mellan två generiska vektorer u och v, som,

så länge ingen av dem är noll.