Kemi

Integrering av oändliga serier av funktioner


Vi betraktar felfunktionen, som spelar en viktig roll i sannolikhetsteorin:

erf(x)=2π1/20xe-t2dt,erf()=1.

Integralfunktionen erf(x) kan inte uttryckas i termer av elementära funktioner. Så du utvecklas e-t2 till en kraftserie:

e-t2=1-t22+t4222!-t6233!+=n=0(-1)nn!t2n.

Eftersom denna serie av funktioner konvergerar enhetligt och termerna kan integreras i intervallet [0,x] är, är påståendet sant

erf(x)=2π1/20xn=0(-1)nn!t2ndt=2π1/2n=0(-1)nn!0xt2ndt.

Integralen på höger sida av kan enkelt beräknas:

0xt2ndt=t2n+12n+10x=x2n+12n+1.

Så felfunktionen är

erf(x)=2π1/2n=0(-1)nn!(2n+1)x2n+1.

Så för varje värde av x erf(x) beräkna så exakt du vill. Värdena för erf(x) finns i tabeller.


Video: Integration: Infinite type: ExamSolutions (December 2021).